La théorie de la stabilité généralisée aux catégories accessibles

Talk given at the University of Lausanne (UNIL) on July 31, 2019.

Abstract

Un théorème de Erdős et Rado généralise le théorème de Ramsey aux cardinaux infinis: pour tout cardinal n, il existe un cardinal N tel que tout graphe avec N points contient une clique ou un ensemble indépendent de taille n. Dans le cas infini, on peut prendre n = N si n est dénombrable mais dans la plupart des autres cas N doit être bien plus grand que n. La théorie de la stabilité est une branche de la théorie des modèles qui donne certaines conditions de définissabilité permettant de prendre n = N pour un plus grand nombre de cardinaux. Historiquement, la théorie de la stabilité a d'abord été développée pour les classes axiomatizées par une théorie du premier ordre. Dans cet exposé, je décrit une généralisation à une grande classe de catégories, les catégories accessibles. Si le temps le permet, je parlerai aussi du problème de la catégoricité, résolu par Morley et Shelah pour le premier ordre mais toujours ouvert pour les catégories accessibles.

Translated abstract

A theorem of Erdős and Rado generalizes Ramsey's theorem to infinite cardinals: for each cardinal n, there exists a cardinal N so that each graph with N vertices contains either a clique or an independent set of size n. In the infinite case, one can take n = N if n is countable but in most other cases N must be much bigger than n. Stability theory is a branch of model theory giving certain definability conditions allowing us to take n = N for a large number of cardinals. Historically, stability theory was first developped for classes axiomatized by a first-order theory. In this talk, I describe a generalization to a large class of categories, accessible categories. Time permitting, I will also talk about the categoricity problem, resolved by Morley and Shelah for first-order but still open for accessible categories.

References